Зачем нужно математическое образование?

В этой статье мы обсудим, почему математическое образование является очень важным компонентом основной программы K-12 и программы колледжей. Мы затронем спорные аспекты данной темы, которые обсуждаются на протяжении многих лет, и попытаемся ответить на аргументы обеих сторон, подчеркивая важность математического образования в современном обществе. Многие учащиеся в начальной, средней и старшей школах испытывают трудности с уроками математики. Многие учащиеся и их родители часто спрашивают, почему математика является важной частью учебной программы для всех уровней образования. Чаще всего звучит следующая жалоба: «Почему у нас так много «бесполезных» уроков математики? Большая часть материала, который мы узнаем на уроках математики, не имеет прямого или непосредственного применения». И хотя на первый взгляд это утверждение кажется правильным для «прямого/непосредственного применения», мы постараемся углубиться в суть вопроса и рассмотрим данный вопрос с другой точки зрения.

Казус из недавней истории математического образования США доказывает спорный характер данной темы. Работа Дэвида Клайна под названием «Краткая история американского математического образования K-12 в 20-м веке»[1] предлагает хороший обзор изменений, имевших место в математическом образовании США в 20-м веке. В начале 1900-х один из наиболее влиятельных представителей образования в стране Уильям Х. Килпатрик отверг идею, что изучение математики способствует умственной дисциплине. Он даже защищал свою точку зрения о том, что математика скорее вредна, чем полезна для мышления, необходимого в обычной жизни. В то время его взгляды на преподавание математики и алгебры были поддержаны многими экспертами. Например, в 1920-е годы комиссар по вопросам образования штата Массачусетс Дэвид Снедден сказал: «Алгебра… является нефункциональным и практически бесполезным предметом для 90 процентов мальчиков и 99 процентов девочек, и никакие изменения в методике преподавания или содержании это не изменят». Таким образом, в тот период учащиеся получали лишь основные математические навыки, которые имели непосредственное практическое применение. Тем не менее, после Второй мировой войны принимающие решения политики начали выступать за более сильную программу по математике, данный шаг был связан с космической гонкой, имевшей место в 1950-х годах. Однако позднее, особенно в 1990-е, полемика на тему «математических войн» среди родителей, профессиональных педагогов и математиков началась снова. При участии многих педагогов и математиков американская учебная программа и учебники по математике были модернизированы, с тем чтобы предоставлять учащимся более сильные математические знания, необходимые в условиях глобальной конкуренции.

Важность математики в основной учебной программе
Целью основной учебной программы для K-12 (и для колледжей) является подготовка учащихся к жизни; развитие их устных, числовых и визуальных навыков, необходимых для анализа и синтеза информации; и способствование пониманию интеллектуального и культурного богатства современного общества. Это базовое образование ставит своей целью предоставление членам общества основы и среды для общения, совместного проживания и продвижения в обществе.

Если мы уберем из основной учебной программы один или два таких предмета, как литература, искусство, общественные или естественные науки, то не сложно заметить, что учащиеся, несомненно, упустят некоторые частицы нашего богатого человеческого опыта; в связи с тем, что они не будут иметь представления о некоторых основных элементах общества, и в некотором отношении им будет трудно адаптироваться к обществу. Помимо указанного прямого значения, каждый из упомянутых предметов имеет и другое более глубокое влияние на людей, поощряя их исследовать то, кем они являются, и быть «более цельными» членами общества. Эти предметы обогащают и углубляют наше понимание окружения и его функционирования в мире. Например, если литературу убрать из основной учебной программы, то, как непосредственное следствие, это приведет к ослаблению навыков общения учащихся с другими людьми, и, кроме того, люди лишатся первой же возможности взаимодействия с отличной средой для выражения человеческих чувств, опыта и воображения. Если мы уберем естественные науки, то большинство из нас не будет знать, почему и как появились многие вещи. Более глубокое влияние будет заключаться в том, что в результате этого люди привыкнут к невежеству, потому что вокруг них будет много вещей, о которых они не будут иметь ни малейшего представления.

Теперь давайте вернемся к первоначальному вопросу. Что если мы уберем математику из основной учебной программы? Никто не возражает против необходимости основ математики на уровне начальной школы, так как это дает базовые знания чисел, счета и т.д., что, несомненно, представляет собой базовые навыки, необходимые в жизни человека. Таким образом, вопрос заключается в следующем: «Действительно ли нам нужна математика в средней и старшей школах, а также в качестве необходимого компонента учебной программы колледжей?» Это не бессмысленный вопрос, так как мы не видим «прямого применения» изучаемого на этих уроках материала в практической жизни. Чтобы ответить на данный вопрос, мы сначала должны понять содержание преподаваемого материала, и какие возможности он нам предоставляет.

Во-первых, мы должны спросить: «Что такое математика?»

Есть много определений. Мы можем привести здесь некоторые из них. Согласно Аристотелю, «Математика – это наука о количестве». Бенджамин Пирс определял математику как «… науку, которая формулирует необходимые заключения». И, наконец, Уолтер Варвик Сойер считал, что «Математика – это классификация и изучение всех возможных закономерностей».

Для нашей цели, однако, мы будем использовать следующее интуиционистское определение: «Математика – это умственная деятельность, заключающаяся в осуществлении, друг за другом, тех умственных построений, которые являются индуктивными и эффективными». Это означает, что путем объединения фундаментальных идей человек достигает определенного результата.

Математика тренирует мозг
На основании приведенного выше определения мы можем утверждать, что даже несмотря на то, что преподаваемый в рамках основной учебной программы на уроках математики материал, возможно, и не имеет прямого применения для многих профессий и в жизни, изучение математики следует рассматривать как тренировку мозга для понимания сложных идей, а также выведения или построения новых знаний в каждом аспекте жизни путем размышления и соотнесения полученной информации.

Другими словами, изучение математики (независимо от содержания) тренирует мозг в логике, упорядочивании и распознавании закономерностей, что имеет большое значение для понимания и аргументирования любых идей. И здесь можно привести следующую наиболее распространенную аналогию: «Изучение математики очень эффективно способствует укреплению «мышц мозга», как бег укрепляет мышцы ног». Изучение математики делает людей умнее и помогает им решать сложные задачи и анализировать сложные ситуации с разных точек зрения. Эти навыки, несомненно, очень важны для любого человека, и каждый хочет укрепить эти навыки в процессе получения образования, дабы подготовиться к зрелой жизни. Следовательно, если мы сможем доказать приведенные нами выше утверждения об изучении математики, то сможем представить убедительные аргументы в пользу необходимости математического образования в основной учебной программе.

Конечно, мы не можем представить твердое стопроцентное доказательство того, что изучение математики повышает нашу способность понимать или лучше анализировать сложные ситуации, с которыми мы сталкиваемся на работе и в повседневной жизни; или делать новые выводы и принимать более взвешенные решения. Тем не менее, если мы вернемся к примеру с бегом и тому, как он укрепляет мышцы ног, то сможем заметить общие черты этих процессов.

Если мы взглянем на любую математическую задачу любого уровня, то в ней всегда описывается ситуация с данными утверждениями A, B и C, после чего спрашивается, если утверждения A, B, и C являются истинными, то будет ли и новое утверждение D также истинным? Любая математическая задача от уровня начальной школы до уровня доктора философии и научных исследований может быть описана в указанных терминах.

Когда мы делаем это в абстрактной обстановке, то это может показаться сложным на первый взгляд, однако данное качество дает математике большие преимущества. В первую очередь, это делает математику универсальной для любого места и времени. Математическая истина абсолютна (если принять, что a, b и c истинны, то d не может оказаться ложным); после того, как утверждение было сформулировано, оно является верным в любое время и в любой точке мира. Если вы задали вопрос «подразумевает ли истинность А, B и C истинность D или нет» пять веков назад, то ответ по-прежнему будет иметь смысл и сегодня; он будет истинным и в будущем. Если задать тот же вопрос в США, Европе или Африке, то на него, несомненно, будет один и тот же ответ. Поскольку ситуация является абстрактной, то ответ не зависит от времени и места. Кроме того, благодаря этому универсальному качеству, воспользовавшись хорошей идеей, ребенок может решить математическую задачу, которую не могут решить многие умные люди. Это делает математику очень интересной и интригующей. Не случайно то, что самые молодые профессора университетов являются математиками.

Теперь давайте вернемся к нашему первоначальному вопросу. Для неподготовленного человека будет сложно пробежать несколько миль при первой же попытке, но после нескольких месяцев тренировок человек привыкает к расстоянию и пробегает его очень легко. Кроме того, такой человек улучшает другие свои спортивные навыки и получает хорошую базу для адаптации к другим видам спорта. Так же как в этом примере, изучение математики является хорошей тренировкой для мозга в отношении анализа ситуаций, понимания более глубоких понятий и поиска взаимосвязей. Целью образования K-12 является подготовка учащихся к их зрелой жизни и обеспечение их хорошей основой для будущей работы. Содержание математического материала вплоть до уровня старшей школы включает в себя исследования, которым не менее трех-четырех веков, а многим формулам более тысячи лет. Благодаря универсальности этих формул, если любое количество детей или подростков говорит об одной и той же проблеме, они могут взаимодействовать друг с другом без каких-либо сложностей за пределами национальных, этнических и языковых границ. Таким образом, математика дает нам идеальную среду для тренировки нашего мозга.

Абстрактная ситуация идеальна
Следующий вопрос звучит так: «Является ли математика единственным (или лучшим) способом тренировки ума? Заставляли бы мы всех бегать кругами на треке, если некоторые учащиеся предпочитают плавание, езду на велосипеде, поднятие тяжестей или скалолазание?» Мы уже ответили на этот вопрос выше, но будет лучше подчеркнуть некоторые моменты снова. Конечно, другие предметы, такие как естественные науки, общественные науки, литература и т.д. также помогают учащимся тренировать свой мозг. Однако, как мы уже подчеркивали выше, математика обеспечивает нам отличные условия тренировки благодаря своей абстрактности. В случае сложной математической задачи ее нужно разбить на более простые части и увидеть связь между ними. После постижения в ходе данного процесса всего сложного сценария учащийся предлагает новую идею для выведения ответа. Это обучение подсознательно вооружает людей умением подходить к различным сложным жизненным ситуациям в своей жизни и придумывать решение. В других областях/предметах ответы и решения не являются абсолютными, и чаще всего здесь не может быть только одного хорошего ответа. Эта неоднозначность может мешать подготовке, которую мы хотим обеспечить.

С другой стороны, из-за универсальности математики за последние столетия накопилось большое разнообразие тем и вопросов. Эти широкие и богатые ресурсы были собраны в различных частях мира в разные времена людьми, которые любят путешествовать в абстрактном мире и которые хотят понять закономерности и связанные с ними отношения. Следовательно, математика включает в себя изобилие тем и проблем, которые были разработаны в ходе работы очень умных людей, искавших ответы на загадки природы и человеческого разума. Это свойство делает математику лучшим способом тренировки человеческого разума и предлагает богатую платформу для всех уровней и возрастов.

Иначе говоря, математика обеспечивает ум способностью задавать вопросы и анализировать, находить связи между событиями и делать выводы из имеющейся информации. Это, безусловно, необходимые навыки в жизни любого человека.

Прямые и практические результаты
Помимо глубокого воздействия, указанного выше, математическое образование также имеет прямые и практические последствия для нашей жизни. В нашем веке даже для работы на самых простых рабочих местах требуются хорошие математические навыки. С развитием технологии хорошие математические навыки стали очень полезны в повседневной жизни. С учетом того, что должностные инструкции меняются с течением времени, потребность в хороших математических навыках становится все более актуальной.

Многие специализации в колледже, такие как инженерия, экономика, финансы, медицина и естественные науки, требуют значительных знаний в математике. Другими словами, если вы не получите основные математические навыки в ходе базового образования, то не сможете получить степень в этих областях и найти достойную работу, связанную с этими предметами.

Заключение
Математическое образование в рамках базовой учебной программы K-12 является спорным вопросом в течение многих столетий. Одна сторона считает математическое образование «роскошью», в то время как другая сторона полагает, что это один из наиважнейших компонентов хорошего всестороннего образования. Эта сторона – правильно, как я считаю, – отмечает, что математика тренирует человеческий ум для понимания, изучения и анализа сложных идей. В наши меняющиеся времена математическое образование становится все более и более важным, поскольку оно обеспечивает необходимую базу для многих профессий, от уровня новичка до продвинутых научно-исследовательских позиций.

Сноска
1. Klein, David. “A Brief History of American K-12 Mathematics Education in the 20th Century,” in Mathematical Cognition: A Volume in Current Perspectives on Cognition, Learning, and Instruction, стр. 175-225.